小可在原点 (0,0)(0,0)(0,0) 出生，每过 111 秒，小可会随机朝着上下左右的其中一个方向移动一格。也就是说，如果第 iii 秒小可在 (x,y)(x,y)(x,y) ，则第 i+1i+1i+1 秒时小可会等概率出现在 (x+1,y),(x,y+1),(x−1,y),(x,y−1)(x+1,y),(x,y+1),(x-1,y),(x,y-1)(x+1,y),(x,y+1),(x−1,y),(x,y−1) 中的其中一个位置。
求 kkk 秒后小可与原点距离的平方 d2=x2+y2d^2=x^2+y^2d2=x2+y2 的期望 E(d2)E(d^2)E(d2)。
一行一个整数 kkk。
一行一个数表示 E(d2)E(d^2)E(d2)。答案与标准答案的相对误差或绝对误差在 10−610^{-6}10−6 以内视为正确。
1
1.0
0≤k≤10120 \le k \le 10^{12}0≤k≤1012
当 k=1k=1k=1 时，小可分别有 14\frac{1}{4}41 的概率出现在 (1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)(1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1) ，而这些位置与原点距离的平方均为 111 ，因此答案为 14×1+14×1+14×1+14×1=1\frac{1}{4} \times 1+\frac{1}{4} \times 1+\frac{1}{4} \times 1+\frac{1}{4} \times 1=141×1+41×1+41×1+41×1=1。